常用微分公式表
在微积分学中，微分是求解函数在某一点的变化率的重要工具。以下是一些常用的微分公式，涵盖了基本初等函数的导数以及链式法则、乘积法则和商的导数法则等。
一、基本初等函数的导数
常数： [ \frac{d}{dx}(c) = 0 \quad (c为常数) ]
幂函数： [ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} ]
指数函数（底数为e）： [ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x ]
对数函数（以e为底）： [ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0) ]
三角函数：
- 正弦函数： [ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]
- 余弦函数： [ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x ]
- 正切函数： [ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} ]
- 余切函数： [ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} ]
- 正割函数： [ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x ]
- 余割函数： [ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x ]
反三角函数：
- 反正弦函数： [ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1) ]
- 反余弦函数： [ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1) ]
- 反正切函数： [ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} ]
- 反余切函数： [ \frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2} ]
双曲函数：
- 双曲正弦函数： [ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x ]
- 双曲余弦函数： [ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x ]
- 双曲正切函数： [ \frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} ]
- 双曲余切函数： [ \frac{d}{dx}(\coth x) = -\text{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} ]
- 双曲正割函数： [ \frac{d}{dx}(\text{sech } x) = -\text{sech } x \tanh x ]
- 双曲余割函数： [ \frac{d}{dx}(\text{csch } x) = -\text{csch } x \coth x ]
反双曲函数：
- 反双曲正弦函数： [ \frac{d}{dx}(\text{arsinh } x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} ]
- 反双曲余弦函数： [ \frac{d}{dx}(\text{arcosh } x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \quad (x > 1) ]
- 反双曲正切函数： [ \frac{d}{dx}(\artanh x) = \frac{1}{1-x^2} \quad (-1 < x < 1) ]
- 反双曲余切函数： [ \frac{d}{dx}(\text{arcoth } x) = \frac{1}{1-x^2} \quad (|x| > 1) ]
二、复合函数与复杂函数的导数
链式法则： 对于复合函数$f(g(x))$，其导数为： [ \frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} ]
乘积法则： 对于两个可导函数$u(x)$和$v(x)$的乘积，其导数为： [ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v' ]
商的导数法则： 对于两个可导函数$u(x)$和$v(x)$的商，其导数为： [ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \quad (v \neq 0) ]
三、其他常用公式
对数换底公式及其导数： [ \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} ] 其导数为： [ \frac{d}{dx}(\log_b x) = \frac{1}{x \ln b} ]
隐函数求导： 对于由方程$F(x, y) = 0$确定的隐函数$y = f(x)$，可以通过对方程两边同时求导并利用链式法则和乘法法则来求解$y'$。
参数方程的导数： 如果$x = g(t)$且$y = h(t)$，则$\frac{dy}{dx}$可由下式给出： [ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{h'(t)}{g'(t)} \quad (g'(t) \neq 0) ]
以上即为一些常用的微分公式，掌握这些公式对于进行微积分运算至关重要。
