简单移动平均法是一种常见的时间序列分析技术，用于平滑数据以识别潜在的趋势。它通过计算某一特定时间段内数据的平均值来实现这一点。以下是简单移动平均法的三个核心公式及其解释：
1. 简单移动平均（SMA）的基本公式
[ \text{SMA}t = \frac{\sum{i=t-k+1}^{t} P_i}{k} ]
其中：
- $\text{SMA}_t$ 表示在时间 $t$ 的简单移动平均值。
- $P_i$ 表示在时间点 $i$ 的价格或数值。
- $k$ 是选择的时间段长度，即窗口大小。
- $\sum_{i=t-k+1}^{t} P_i$ 表示从时间 $t-k+1$ 到时间 $t$ 的所有价格或数值的总和。
这个公式通过取最近 $k$ 个数据点的平均值来生成一个新的数据点，从而平滑原始数据。
2. 计算窗口内总和的递推公式
为了提高计算效率，尤其是在处理大量数据时，可以使用递推方法来更新总和和平均值。假设我们已经有了前一个时间点的简单移动平均值和总和，那么新的总和可以通过以下方式计算：
[ \text{New Sum}t = (\text{Old Sum}{t-1} - P_{t-k}) + P_t ]
其中：
- $\text{New Sum}_t$ 表示在时间 $t$ 的新总和。
- $\text{Old Sum}_{t-1}$ 表示在时间 $t-1$ 的旧总和。
- $P_{t-k}$ 是被移出窗口的数据点。
- $P_t$ 是新加入窗口的数据点。
一旦我们有了新的总和，就可以简单地用它来计算新的简单移动平均值：
[ \text{SMA}_t = \frac{\text{New Sum}_t}{k} ]
3. 考虑缺失值的调整公式
在实际应用中，有时会遇到缺失值的情况。为了处理这些缺失值，可以对基本公式进行调整，使其在计算过程中忽略缺失值。这通常涉及到对有效数据点的计数和相应地对总和进行加权调整。然而，一个简化的方法是使用“零替代”策略，即将缺失值视为0（尽管这种方法可能会引入一些偏差）：
[ \text{Adjusted SMA}t = \frac{\sum{i=t-k+1}^{t} (P_i \text{ 或 } 0)}{\text{Number of non-zero } P_i \text{ within the window}} ]
这里需要注意的是，分母现在是窗口内非零数据点的数量，而不是固定的 $k$。这种方法在处理少量缺失值时可能比较有用，但如果缺失值较多，则可能需要更复杂的插值或估算方法。
以上三个公式构成了简单移动平均法的基础，并提供了在不同情况下应用该方法的实用指导。
