商的求导法则公式

商的求导法则（也称为商的导数公式或商的微分法则）用于计算两个可导函数的商的导数。具体来说，如果 u(x) 和 v(x) 是两个关于 x 的可导函数，且 v(x) ≠ 0，则它们的商 f(x) = u(x)/v(x) 的导数由以下公式给出：

[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

其中：

• (u') 表示 (u(x)) 关于 (x) 的导数。
• (v') 表示 (v(x)) 关于 (x) 的导数。
• (v^2) 表示 (v(x)) 的平方。

应用步骤

1. 确定函数：首先明确分子和分母分别是哪两个函数，即 (u(x)) 和 (v(x))。
2. 分别求导：求出这两个函数的导数 (u'(x)) 和 (v'(x))。
3. 应用公式：将 (u(x))，(u'(x))，(v(x))，和 (v'(x)) 代入到商的导数公式中。
4. 简化结果：根据需要简化得到的表达式。

示例

假设我们要找到函数 (f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}) 的导数。

1. 确定函数：在这里，(u(x) = x^2 + 1) 且 (v(x) = x - 2)。
2. 分别求导：(u'(x) = 2x) 且 (v'(x) = 1)。
3. 应用公式： [ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x - 2) - (x^2 + 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1)}{(x - 2)^2} ]
4. 简化结果： [ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2} ]

通过这个过程，你可以找到任何两个可导函数的商的导数。