指数分布是一种连续概率分布，通常用于描述某些随机事件发生的时间间隔。
假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其概率密度函数为：
$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$
期望（均值）
期望 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 所有可能取值的加权平均，权重是这些取值对应的概率。对于指数分布，期望可以通过以下公式计算：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x) , dx$
将 $f(x)$ 的表达式代入上式，得：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} , dx$
通过积分运算，可得：
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
方差
方差 $Var(X)$ 是随机变量 $X$ 与其期望 $E(X)$ 之差的平方的期望值。对于指数分布，方差可以通过以下公式计算：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
其中，$E(X^2)$ 是 $X^2$ 的期望，可以通过以下积分计算：
$E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} , dx$
通过积分运算，可得：
$E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$
然后，将 $E(X)$ 和 $E(X^2)$ 的值代入方差的公式中，得：
$Var(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$
总结
对于参数为 $\lambda$ 的指数分布，其期望和方差分别为：
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
