八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。事实上就是有92种解法。对于八皇后问题的实现，如果结合动态的图形演示，则可以使算法的描述更形象、更生动，使教学能产生良好的效果。下面是笔者用Turbo C实现的八皇后问题的图形程序，能够演示全部的92组解。八皇后问题动态图形的实现，主要应解决以下两个问题。 1．回溯算法的实现 （1）为解决这个问题，我们把棋盘的横坐标定为i，纵坐标定为j,i和j的取值范围是从1到8。当某个皇后占了位置(i,j)时，在这个位置的垂直方向、水平方向和斜线方向都不能再放其它皇后了。用语句实现，可定义如下三个整型数组：a[8],b[15],c[24]。其中： a[j-1]=1 第j列上无皇后 a[j-1]=0 第j列上有皇后 b[i+j-2]=1 (i,j)的对角线（左上至右下）无皇后 b[i+j-2]=0 (i,j)的对角线（左上至右下）有皇后 c[i-j+7]=1 (i,j)的对角线（右上至左下）无皇后 c[i-j+7]=0 (i,j)的对角线（右上至左下）有皇后 （2）为第i个皇后选择位置的算法如下： for(j=1;j<=8;j++) /*第i个皇后在第j行*/ if ((i,j)位置为空)） /*即相应的三个数组的对应元素值为1*/ {占用位置（i,j） /*置相应的三个数组对应的元素值为0*/ if i<8 为i+1个皇后选择合适的位置； else 输出一个解 } 2．图形存取 在Turbo C语言中，图形的存取可用如下标准函数实现： size=imagesize(x1,y1,x2,y2) ;返回存储区域所需字节数。 arrow=malloc(size);建立指定大小的动态区域位图，并设定一指针arrow。 getimage(x1,y1,x2,y2,arrow);将指定区域位图存于一缓冲区。 putimage(x,y,arrow,copy)将位图置于屏幕上以（x，y）左上角的区域。 3． 程序清单如下 ＃i nclude ＃i nclude ＃i nclude ＃i nclude char n[3]={0,0};/*用于记录第几组解*/ int a[8],b[15],c[24],i; int h[8]={127,177,227,277,327,377,427,477};/*每个皇后的行坐标*/ int l[8]={252,217,182,147,112,77,42,7};/*每个皇后的列坐标*/ void *arrow; void try(int i) {int j; for (j=1;j<=8;j++) if (a[j-1]+b[i+j-2]+c[i-j+7]==3) /*如果第i列第j行为空*/ {a[j-1]=0;b[i+j-2]=0;c[i-j+7]=0;/*占用第i列第j行*/ putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,COPY_PUT);/*显示皇后图形*/ delay(500);/*延时*/ if(i<8) try(i+1); else /*输出一组解*/ {n[1]++;if (n[1]>9) {n[0]++;n[1]=0;} bar(260,300,390,340);/*显示第n组解*/ outtextxy(275,300,n); delay(3000); } a[j-1]=1;b[i+j-2]=1;c[i-j+7]=1; putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,XOR_PUT);/*消去皇后，继续寻找下一组解*/ delay(500); } } int main(void) {int gdrive=DETECT,gmode,errorcode; unsigned int size; initgraph(&gdrive,&gmode,""); errorcode=graphresult(); if (errorcode!=grOk) {printf("Graphics error\n");exit(1);} rectangle(50,5,100,40); rectangle(60,25,90,33); /*画皇冠*/ line(60,28,90,28);line(60,25,55,15); line(55,15,68,25);line(68,25,68,10); line(68,10,75,25);line(75,25,82,10); line(82,10,82,25);line(82,25,95,15); line(95,15,90,25); size=imagesize(52,7,98,38); arrow=malloc(size); getimage(52,7,98,38,arrow);/*把皇冠保存到缓冲区*/ clearviewport(); settextstyle(TRIPLEX_FONT, HORIZ_DIR, 4); setusercharsize(3, 1, 1, 1); setfillstyle(1,4); for (i=0;i<=7;i++) a[i]=1; for (i=0;i<=14;i++) b[i]=1; for (i=0;i<=23;i++) c[i]=1; for (i=0;i<=8;i++) line(125,i*35+5,525,i*35+5);/*画棋盘*/ for (i=0;i<=8;i++) line(125+i*50,5,125+i*50,285); try(1);/*调用递归函数*/ delay(3000); closegraph(); free(arrow); } 八皇后问题的串行算法 1 八皇后问题 所谓八皇后问题,是在8*8格的棋盘上,放置8个皇后。要求每行每列放一个皇后,而且每一条对角线和每一条反对角线上不能有多于1个皇后,也即对同时放置在棋盘的两个皇后(row1,column1)和(row2,column2),不允许(column1-column2)=(row1-row2)或者(column1+row1)=(column2+row2)的情况出现。 2 八皇后问题的串行递归算法 八皇后问题最简单的串行解法为如下的递归算法: (2.1)深度递归函数: go(int step,int column) {int i,j,place; row[step]=column; if (step==8) outputresult( ); /*结束递归打印结果*/ else /*继续递归*/ {for(place=1;place<=8;place++) {for(j=1;j<=step;j++) if(collision(j ,row[j],step+1,place)) /*判断是否有列冲突、对角线或反对角线*/ goto skip_this_place; go(step+1,place); skip_this_place:; } } }/* go */ (2.2)主函数: void main( ) {int place,j; for(place=1;place<=8;place++) go(1,place); }/* main */ 八皇后问题的并行算法 该算法是将八皇后所有可能的解放在相应的棋盘上,主进程负责生成初始化的棋盘，并将该棋盘发送到某个空闲的子进程,由该子进程求出该棋盘上满足初始化条件的所有的解。这里，我们假定主进程只初始化棋盘的前两列，即在棋盘的前两列分别放上2个皇后,这样就可以产生8*8=64个棋盘。 1 主进程算法 主进程等待所有的子进程,每当一个子进程空闲的时侯，就向主进程发送一个Ready(就绪)信号。主进程收到子进程的Ready信号后,就向该子进程发送一个棋盘。当主进程生成了所有的棋盘后,等待所有的子进程完成它们的工作。然后向每个子进程发送一个Finished信号,打印出各个子进程找到的解的总和，并退出。子进程接收到Finished信号也退出。 2 子进程算法 每个子进程在收到主进程发送过来的棋盘后,对该棋盘进行检查。若不合法,则放弃该棋盘。子进程回到空闲状态,然后向主进程发送Ready信号,申请新的棋盘;若合法,则调用move_to_right(board,rowi,colj)寻找在该棋盘上剩下的6个皇后可以摆放的所有位置,move_to_right(board,rowi,colj)是个递归过程, 验证是否能在colj列rowi行以后的位置是否能放一个皇后。 1)首先将more_queen设置成FALSE； 以LEAF,TRUE和FLASE区分以下三种情况: A)LEAF:成功放置但是已到边缘,colj现在已经比列的最大值大1,回退两列,检查是否能将待检查皇后放在哪一行:如果能,把more_queen设成TRUE; B)TRUE:成功放置皇后,检查这一列是否能有放置皇后的其他方式,如有,把more_queen设成TRUE; C)FALSE:不能放置,回退一列再试,如果能把more_queen设成TRUE ,如果皇后已在最后一行,必须再检查上一列。 2)如果more_queens=TRUE,仍需再次调用move_to_right(),为新棋盘分配空间,用xfer()将现有棋盘拷贝到nextboard，并进行下列情况的处理： TRUE:得到一个皇后的位置,增大列数再试； FALSE:失败,如果more_queen为真, 取回棋盘,保存上次调用的棋盘。将列数减小,取走皇后,增加行数,再调用move_to_right()； LEAF:得到一种解法,solution增一,将解法写入log_file,由于已到边缘,列数回退1,检查是否放置一个皇后,如果能,新加一个皇后后,调用move_to_right；如果不能,检查more_queen如果more_queen为真,将棋盘恢复到上次调用时保存的棋盘,将待检查的皇后下移,调用move_to_right。 八皇后问题的高效解法-递归版 // Yifi 2003 have fun! : ) //8 Queen 递归算法 //如果有一个Q 为 chess[i]=j; //则不安全的地方是 k行 j位置,j+k-i位置,j-k+i位置 class Queen8{ static final int QueenMax = 8; static int oktimes = 0; static int chess[] = new int[QueenMax];//每一个Queen的放置位置 public static void main(String args[]){ for (int i=0;i= 0) && (chess[i]+k < QueenMax) ) qsave[chess[i]+k]=false; if ( (chess[i]-k >= 0) && (chess[i]-k < QueenMax) ) qsave[chess[i]-k]=false; i++; } //下面历遍安全位 for(i=0;i
